結論から書くと、
教習資格認定が出るまで、（私の場合）申請した当日も含めて土日祝日込みで６８日間（２ヶ月ちょっと）、行政機関の休日を引くと４７日間（約１ヶ月半）でした。
これが東京都で平均的なものなのか早いか遅いかは全くわかりません。
会社勤めではないので、その辺もサラリーマンとは違うと思います。
以下は、申請から許可が下りるまでの大体の経緯です。
参考程度にどうぞ。
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２０１６年８月半ば、申請２日後の平日。
午前中に警察の銃砲担当の警察官が自宅の確認と家族に話を聞くために自宅に来訪。
申し込みの時に話をした銃砲担当の方が直に来ました。
１週間後以降の予定だったはずが、ちょうど出かける直前（３０分前くらい）に、抜き打ち的に連絡なしでチャイムが鳴ったので驚きました。
家族には私の猟銃の所持について賛成かどうかなどを聞き、別世帯に住んでいる親は不在だったので、 そちらには２、３日後に（申請時に書いた）携帯電話に電話がかかってきて、銃の所持について賛成かどうかなど、いろいろと聞かれたとのこと。
さらに我が家に来た後にはそのまま、申請時に書類に書いたご近所さんにも直に調査に行っていました。
今年はお盆前後の休みが長く、休日のタイミングなどもあって、ご近所さんも不在にしている家もありそうだったため、実はまだ全く近所の人に警察官が調査に来る旨のご挨拶をしてなかったので焦りました。
突然、警察の人がきたら「何か事件か！」って普通は思いますから。
家から出てきたご近所さんに、先にお話しをできず、すみませんでしたと謝りつつも、私の方の出発予定が予約の関連でタイムアウト寸前であり、出かけなければならなかったので、そのままダッシュで外出です。
普段からご挨拶したり世間話をしたり等の付き合いはあったので、特に気まずい感じにとかはなりませんでしたが・・・びっくりしました。
この後も、申請後から１週間後以降（本来の打ち合わせた予定通りに）、某県に住んでいる親にも警察署から電話がかかってきたと連絡がありました。
親が聞かれた内容は、私が申告した前歴や話の内容の整合性確認、酒を飲んで暴れないか等だったそうです。
この時、申請時に私自身が警察官に話をした内容やご近所さんから聞いた話などについても確認されたり、聞かれたとのこと。
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身辺調査では、直接に家まで訪問したのはご近所さんだけで、あとは電話での調査だったようです（今回の場合）。
内容を詳細に確認できた所への警察の担当の方の質問内容で共通していたのは、
・家族以外については、私（申請者）とはどの程度の付き合いがあるか？期間や付き合い度合。
・普段はどんな性格か？粗暴な行動はないか？
・一緒にお酒を飲んで暴れたりしないか酒癖は悪くないか？そういう話は聞いたことがあるか？
・（申請者について）他者とのトラブルはないか？他人とのトラブルの話を聞いたことがないか？
・私（申請者）が警察官に話した内容は本当かどうか、とにかく内容の整合性確認の繰り返し。
などでした。
多くの人に申請者に関する話の整合性を確認していくので、嘘をついていたりごまかそうとしても、バレて許可は下りないと思います。
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その後は、８月末に一度、警察署の代表番号から携帯に着信がありました。
銃砲担当の方からの電話です。
ただ、射撃教習認定が出るまで最低でも１ヶ月はかかると聞いていたので、たぶん私についての不明点の確認だろうなと思ったら、そうでした。
少し前まで海外に住んでいたので、海外にいる間の詳細な住所や生活についてもう少し詳細が欲しいとのことでしたが、
「住んだのが一カ所だけではないので、文字も含めて電話だとちょっと全部を詳細に伝えるのが難しいんですが・・・メールとかならリストで送れます」と言ったところ
「あー、んー、そうですか・・・じゃあ、それはいいです、大丈夫です」
とのこと。
とりあえず、（相手国の公的機関が出したものから賃貸契約書まで）書類とか、その国で取得した運転免許証まで含めて、何でもとってあるので「もし、聞きたい話がありましたら、いつでも何でも聞いてください」とだけ伝えました。
ここから1か月半音沙汰無し・・・。
「ダメな予感・・・やっぱり、いらないとは言われたけど、海外生活についての資料とかもって問い合わせにいった方がいいかなあ・・・」などと考えつつ日が過ぎます。
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１０月中旬。
警察官が家の近辺に来た模様。
我が家には、（過去に敷地内の自転車が盗まれたりなどがあったため）防犯カメラがついており、敷地内に誰かが入ると自動で映像、静止画等撮影してサーバに自動保存したり、スマホに送って来るようになっています。
普段は敷地内に入るのはチラシ配り、勧誘、郵便や宅配とかであり、年に数回だけ、特に夜間にすごーく怪しい行動をする知らない人・・・空き巣の様子見とか？・・・が映ってるのだけど、今日は珍しく制服の警察官（何度か会っている銃砲担当の人ではない知らない方）が敷地内に入って来るのが写ってました。
過去に近所でいろいろと事件もあったので、また周辺で何かあったのかと思って、念のため録画映像の方もリプレイで確認してみると、自転車で来て自転車を下りる前から視点が我が家の方で「うん、ここだな」という感じでポストのネームプレートのチェックその他をしている感じの動きでした。
ということで、これらの行動から推測すると、どうやら我が家が目標で来てるようです。
ただ、我が家の（最近よくある自動記録機能付きなので不在時に押されても記録は残る）チャイムは鳴らした形跡はなく、我が家と周辺で何か調べている感じでした。
やはり銃砲関連の調査かな・・・と思いつつも何かできるわけでもないので、そのまま。
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１０月下旬。
朝９時前に警察署の代表番号から着信。
着信に気づかず、折り返し電話して結果・・・
・・・・射撃教習の許可が降りました！
やはり、先日の警察官は銃砲関連の調査だったのでしょうか・・・。
銃砲担当の方の予定を聞いて警察署に行く予定、時間の約束しました。
猟銃用火薬類等譲受許可の申請をするので、ハンコを持ってきてくださいと言われたので、忘れずに持参です。
ちなみに、猟銃用火薬類等譲受許可の申請では、警視庁のサイトからダウンロードできる「猟銃用火薬類等譲受許可申請」の用紙と記入例を見ればわかるように、何月何日にどこで何発の弾を買うか、消費する予定かも書かなけれなりません。
たぶん、申請する時点で射撃場に電話して予約し、ついでに必要な弾数を聞く必要があると思います。
結局は射撃場の予約は取らなければならないので、警察署に行く前に、射撃場にも電話して教習認定が降りたことを話して予約を取りました。
私が行こうと考えていた射撃場は１０月は空きがなく、１１月は空きがあるのが２日間だけっぽく、空きが１名ある日に滑り込みで予約完了。
電話で射撃場の電話受付の方に必要な弾数を聞いたところ、
射撃場「３００発です」
私「え？はい、３００発ですね？（そんなに撃つのかな・・・）」
射撃場「はい、そうです」
と言われたので、３００発とメモ。
他に必要な持ち物も聞いた（教習資格認定証、猟銃用火薬類等譲受許可証、ボールペンなど）。
というわけで、射撃場の予約も済んで、お約束したとおりに管轄の警察署の生活安全課に行き、教習認定許可証と、手数料２４００円を払って猟銃用火薬類等譲受許可証も頂く。
そこで銃砲担当の方とお話している雰囲気からすると、あらかじめ射撃場の予約を事前に取って来る人はあまりいない感じだった。
射撃場での教習予約時に言われた３００発の件を伝えると、
「え？教習で３００発は多すぎるでしょう・・・うちは１００発で出してます」
ということで１００発になりました。
