以下、2016年6月時点の情報です。
時々、法律や手順が変わることがあるので、参考程度にしてください。
猟銃の所持許可を受けるには、まず猟銃等初心者講習会を受講して、試験に合格しなければなりません。その後にも教習資格申請etc.と関門が続いていきます。
というわけで、猟銃等初心者講習会の申し込みをするわけですが、現住所の所在地を管轄する警察署に行って申し込みます。
自分は、都内の住んでいる区の警察署の生活安全課に行きました。
事前連絡せずに行きましたが、お昼時にも関わらず親切丁寧に対応いただきました。恐縮です。
ただ、銃砲許可の担当者が出かけていることもあるため、事前連絡すると無駄足にならないと思います。
警察署での猟銃等初心者講習会の申し込みに当たって必要な書類等は以下です。
・本籍、家族構成が記載された住民票の写し。
（ただし、住民票はマイナンバーの記載は不要だそうです。マイナンバー記載があると受け取れないと言っていました。コンビニの機械でマイナンバーカードを使って取得、200円）
・猟銃等講習会受講申込書（警視庁のサイトからダウンロードして印刷）
・証明写真1枚（街角の証明写真機で運転免許証用で撮影）
・受講料6800円（現金）
・印鑑（三文判で大丈夫でしたが、申込時もその場でも別途押すのに必要なので、事前に押してあってもハンコは持っていきましょう）
猟銃等講習会受講申込書は、警視庁のウェブサイトの申請様式一覧（銃砲刀剣類等申請様式）
http://www.keishicho.metro.tokyo.jp/tetsuzuki/teppo/gun/form.html
にある「猟銃等講習会受講申込書」のPDFをダウンロードして、印刷、記入して、証明写真を1枚貼って、捺印して使えました。
ただし、受講したい日程と場所は、警察署で講習会の定員が空いているか聞いてもらってから、警察署でその場で記入した方がいいと思います。
実際、今年の講習会日程のうち、以下のページに記載がある一番近い予定（約２０日後）の1回分は定員が埋まっていて、１つ後の日程になりました。
http://www.keishicho.metro.tokyo.jp/about_mpd/welcome/event_koshu/koshu/koshukai.html
受講場所も必ずしも自宅に近い場所ではなく、各警察署で持ち回りのように講習会をしています。
ですから、空いてる日程がある警察署が自分の家に近いは限らず、自分の予定によっては遠くの警察署で受講することになります。
逆に急がなければ、自分の家に近い場所で開催する日程に申し込めばいいのかなと思いますが・・・・２か月くらい先までしか予定が発表されないので、自分の近くの警察署がいつになるかはわかりません。
警察署で申込をして申請手数料を払った後に銃砲許可の担当者から「猟銃等取扱読本」（参考資料のページまで入れて１５０ページ）をもらいますが、その時に講習会申込書の空いた場所に「猟銃等取扱読本を受領しました」と手書きして、受け取り確認の印鑑も必要でしたので、印鑑は持って行きましょう（朱肉は借りられました）。
ネットで事前に調べていると、動機等を長時間にわたって聞かれ、いろいろと厳しいことを言われたという書き込みを見たので、かなり緊張しましたが、素直に所持許可を得ようと思った動機や経緯を話したところ特に問題なく、また担当係の方にはとても親切にいろいろと教えていただきました。
この時についでに質問し、東京都庁での狩猟免許の申し込みや、この後の猟銃等初心者講習会を修了した後の教習資格の申請の時にも必要な診断書を書いてもらえそうな病院も聞いて、教えてもらいました。
講習会の後の工程や狩猟免許試験の申し込みに必要になる診断書ですが、2015年6月から病院の精神科だけでなく、かかりつけのお医者さんの診断書でも受け付けてもらえるように改正されました。
ただ、動物愛護の考えが強いお医者さんがいる病院や責任問題になることを嫌がる病院等、なかなか猟銃を所持するにあたっての診断書を書いてくださる理解がある病院を探すのは大変な場合もあると聞いていますので、できるだけトラブルを避けるために警察署で教えていただいた病院で取得することにしました。普通の内科医院でしたが問題なく取得でき1通３０００円でした。
警察署以外にも銃砲店や猟友会の人にも教えてもらえると思います。
しかし、教えていただいた病院名は昨今の狩猟への批判が厳しいこともあって、病院に批判の電話等が殺到したりご迷惑をおかけすると大変なのでここには書きません。
なんでもネットで炎上する時代ですから・・・。
これを読んだみなさんは、そこが知りたいところだと思いますが。担当係の方は銃砲店などでも教えていただけると言っていましたので各自、お店に直に行って聞いてみてください。
長くなりましたが、まとめますと、流れとしてはこんな感じでした。
住所地を管轄する警察署に行く
↓
受付で猟銃等初心者講習会の申込に来た旨を話して生活安全課に行く
↓
講習会を受けたい旨を伝えて担当の方を呼んでもらう
↓
廊下の椅子で待つ
↓
廊下で担当係の方と話して申込書を渡す
↓
講習会申込料を会計窓口に行って払う（この間、担当係の方は廊下で立って待ってました）
↓
猟銃等取扱読本や講習会関連のチラシ等をもらいつつ・・・受領した旨と印鑑を押しつつ・・・許可を取得しようと思った動機や経緯を話しつつ・・・いろいろと説明や注意点も聞く。
↓
終わり。
警察署に入ってから出るまで全体で30分ほどでした。
銃砲担当係の方もこれだけの仕事をしているわけではないと思われますので、忙しいときにいくと、待たされたり、後日ということもありえますから、やはり事前連絡してアポを取ってから行くといいと思います。
参考：
猟銃等講習会の基準問題は以下のURLにありました（2016/06/15現在）
https://www.npa.go.jp/pdc/notification/seian/hoan/hoan20150501.pdf
上記のアーカイブ
http://web.archive.org/save/_embed/https://www.npa.go.jp/pdc/notification/seian/hoan/hoan20150501.pdf
この手の法律、運用、内容等は変わることがありますから、来年以降も同じかはわかりません。
